A cura di Davide Munaretto
Questo sistema che in genere viene usato per trasmettere il moto fra due assi posti ortogonalmente fra loro, fu inventato da Leonardo Da Vici.
La vite senza fine prende questo nome quando la sua lunghezza non è eccessiva e con pochi filetti ed ingrana con una ruota dentata il cui asse non è parallelo a quello della vite.
Le viti senza fine possono avere 1 o più filetti che vengono denominati “principi” quindi Viti ad un principio, due principi…etc.
l’inclinazione del filetto della ruota si trova nello stesso senso di inclinazione del filetto della vite.
Il senso di rotazione della ruota dipende dal senso di rotazione della vite e dall’inclinazione dei filetti.
In genere la vite senza fine conduce o comanda la ruota con conseguente enorme riduzione di velocità, questa applicazione è comunemente adottata nei riduttori di giri tradizionalmente utilizzati in meccanica e in genere il comando è irreversibile.
Per meglio comprendere i concetti esposti fino a questo punto ecco un semplice esempio…
Ma adesso veniamo a quella che è l’applicazione classica di questo cinematismo quando abbiamo a che fare con Carillon, Automi o tutti quei particolari meccanismi che richiedano una riduzione del numero di giri, una sorta di freno che sfrutta la resistenza dell’aria facendo girare una ventola molto più velocemente del moto in ingresso, in pratica se analizziamo l’accoppiamento vite ruota la trasmissione del moto viene data dalla ruota che conduce la vite con il risultato di avere un fortissimo incremento del numero di giri della vite stessa.
In partica è l’esatto opposto di quanto abbiamo visto fino ad ora…ma a questo punto nasce un dubbio, non si era detto prima che il moto è irreversibile?
Sarà per via di una diversa forma della vite e della ruota?
A queste domande si risponde facilmente entrando un pizzico nel merito di quelli che sono i parametri caratteristici di progetto di questo accoppiamento che non sono del tutto dissimili da quello delle ruote dentate più note a tutti.
Quello che determina la reversibilità del moto in questo tipo di accoppiamento è l’angolo di inclinazione del filetto della vite (e quindi di conseguenza anche quello della ruota) che di massima (anche se vi sono delle eccezioni) fino a circa 10° è Irreversibile per divenire reversibile con angoli superiori, a 45* ad esempio si ottiene la massima reversibilità.
Parametri di calcolo
Senza entrare troppo in quelli che sono tutti i parametri di calcolo di questi accoppiamenti, vediamo solo quelli che ci interessano, ovvero come fare a determinare le caratteristiche di una ruota in modo che possa accoppiarsi con una vite esistente in assenza di campioni da copiare.
Per quanto possa sembrare una cosa complicata, in realtà tenendo conto di quanto detto finora è abbastanza semplice ma serve introdurre delle variabili caratteristiche specifiche oltre a quelle come detto già note per il calcolo delle ruote dentate ovvero:
Per la Vite senza fine:
dev = diametro esterno della vite
dp = diametro primitivo della filetto della vite
mo = modulo obliquo
f = numero di principi della vite
ßv = angolo di inclinazione del filetto
Pv = Passo del filetto
Per la Ruota:
der = diametro esterno della ruota
dpr = diametro primitivo della ruota
mn = modulo normale
ßr = angolo di inclinazione dei denti della ruota
Pr = Passo dei denti della ruota
Z = numero dei denti della ruota
Due cose molto importanti:
– Il Passo della Vite deve essere uguale al passo della Ruota ( Pv=Pr )
– L’angolo Beta della Vite deve essere uguale al passo della Ruota ( ßv = ßr )
- Primo caso: Vite senza fine motrice e ruota condottadati a disposizione solo quelli della vite, la ruota è mancantedev = 19.42 mm
dp = diametro primitivo della filetto della vite
mo = modulo obliquo
f = 1
ßv = 2°
Pv = 2.8 mm
Cominciamo a calcolare il modulo obliquo
mo = Pv/¶ = 0.891
a questo punto possiamo calcolare il modulo normale della ruota
mn = mo * Cosßv = 0.891
a questo punto rimangono due incognite per dimensionare la ruota, il numero di denti Z e il diametro esterno.
Il diametro esterno è un dato che di massima potremmo ricavare con un rilievo fisico sul pezzo e anche se approssimativo ci può dare il numero di denti che di massima sarà abbastanza attendibile, ovviamente nulla vieta di fare l’inverso.
Calcoliamo quindi il diametro primitivo della ruota assumendo un diametro esterno di 23 mm
dpr = der – (2 * mn) = 21.218 mm
da cui il numero di denti della ruota è
Z = dpr/mo = 23.81 denti
e in effetti la ruota ha 24 denti.
secondo caso: Vite senza fine condotta e ruota motrice
dati a disposizione solo quelli della vite, la ruota è mancante
dev = 1.94 mm
dp = diametro primitivo della filetto della vite
mo = modulo obliquo
f = 1
ßv = 20°
Pv = 0.9 mm
Cominciamo a calcolare il modulo obliquo
mo = Pv/¶ = 0.286
a questo punto possiamo calcolare il modulo normale della ruota
mn = mo * Cosßv = 0.269
a questo punto rimangono due incognite per dimensionare la ruota, il numero di denti Z e il diametro esterno.
Il diametro esterno è un dato che di massima potremmo ricavare con un rilievo fisico sul pezzo e anche se approssimativo ci può dare il numero di denti che di massima sarà abbastanza attendibile, ovviamente nulla vieta di fare l’inverso.
Calcoliamo quindi il diametro primitivo della ruota assumendo un diametro esterno di 7 mm
dpr = der – (2 * mn) = 6.46 mm
da cui il numero di denti della ruota è
Z = dpr/mo = 22.59 denti
e in effetti la ruota ha 22 denti.
Con questa procedura siamo quindi in grado di determinare le dimensioni della eventuale ruota mancante con una discreta precisione, determinata inoltre anche dalla precisione con la quale andremo a fare i rilievi dimensionali sia dell’angolo che del Passo della vite.
Rendimento e reversibilità del moto
- Come detto all’inizio questo tipo di accoppiamento nasce per essere irreversibile e con la vite che fa da motrice con un rendimento in genere molto basso per via degli attriti.
Per fare una stima dell’andamento delle forze e come queste siano strettamente correlate all’angolo della vite/ruota si può assimilare il funzionamento ad un piano inclinato dove le due risultanti della coppia applicata risultano essere ortogonali fra loro.
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nel caso in cui la ruota fosse condotta e la vite conduttrice avremmo la seguente relazione
Fv = Fr tan( ß + Φ)
dove Φ è il coefficiente d’attrito
nel caso in cui invece la ruota fosse conduttrice e la vite condotta si avrebbe
Fv = Fr tan(ß – Φ)
volendo provare a trasformare in numeri:
Fv = 10 N
ß = 3°
Φ = 4° (valore per Ferro su Bronzo)
nel caso della ruota condotta (caso tipico) avremmo
Fr = Fv/tan(ß + Φ) = 81.44 N
nel caso della vite condotta (caso Carillon, Automi etc.)
Fr = Fv/tan(ß – Φ) = – 572 N
da quanto sopra si dimostra come mantenendo l’angolo ß invariato la trasmissione è irreversibile.
Ora come detto perché si possa avere la reversibilità del movimento si deve incrementare l’angolo ß portandolo a valori superiori ai 15°, quindi proviamo a fare la stessa verifica mantenendo invariata la forza e modificando l’angolo portandolo ad esempio a 20°
nel caso della ruota condotta (caso tipico) avremmo
Fr = Fv/tan(ß + Φ) = 22.46 N
nel caso della vite condotta (caso Carillon, Automi etc.)
Fr = Fv/tan(ß + Φ) = 34.87 N
Anche in questo caso abbiamo dimostrato come l’angolo di inclinazione della vite sia determinante per la reversibilità del moto, ma anche come questo influenzi la coppia necessaria da applicare al sistema perché questo possa muoversi in modo autonomo ovvero che possa vincere gli attriti di primo distacco.
Sapendo che la Potenza è data dalla relazione
P = Mt * ω
dove Mt è la coppia torcente e ω è la velocità angolare, è evidente che disponendo di un valore di potenza invariabile dato ad esempio dalla forza sviluppata da una molla di carica, se l’applichiamo ad una ruota che deve muovere una vite senza fine diventa molto importante mantenere un bilanciamento delle forze quanto più equilibrato possibile, pena una perdita di coppia che andrebbe a compromettere l’avvio della trasmissione.
In aggiunta a questo, nel caso in cui l’applicazione sia quella dei Carillon etc. si dovrà inoltre tenere conto dell’effetto frenante dato dalla ventola collegata alla vite senza fine e quindi di una ulteriore dissipazione di energia che dovrà essere bilanciata e considerata nel calcolo.
Per quanto riguarda la forma del dente della ruota, considerando che ci troviamo in una condizione di sfavore, sarebbe consigliabile adottare un profilo quanto più performante possibile e quindi assimilabile al profilo ad evolvente, lo spessore della ruota è subordinato alle dimensioni della vite, all’angolo di inclinazione e al coefficiente d’attrito e quindi anche al tipo di materiale con il quale andremo a realizzare la ruota fermo restando che la vite sia in Acciaio.
